58. Међународна математичка олимпијада 2017.
~~~~~ Душан Ђукић ~~~~~
58. Међународна математичка олимпијада је одржана од 13. до 23. јула 2017. у Рио де Жанеиру у Бразилу, уз учешће 615 такмичара из 111 земаља. Екипа Србије је одабрана на основу резултата Српске математичке олимпијаде за средње школе одржане 31. марта и 1. априла, Балканске математичке олимпијаде и додатног изборног такмичења одржаног 21. и 22. маја:
- Алекса Милојевић, 2. разред Математичке гимназије у Београду
- Павле Мартиновић, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
- Игор Медведев, 3. разред Математичке гимназије у Београду;
- Јелена Иванчић, 1. разред Математичке гимназије у Београду.
- Марко Медведев, 3. разред Математичке гимназије у Београду;
- Огњен Тошић, 4. разред Математичке гимназије у Београду;
Екипом су руководили Душан Ђукић са Машинског факултета у Београду и Бојан Башић са Природно-математичког факултета у Новом Саду. Одлазак екипе на олимпијаду су, осим ДМС и МПНТР, финансијски подржали НИС и КПМГ.
Завршни део припрема екипе одржан је од 30. јуна до 7. јула у Хемијско-медицинској школи у Вршцу. По правилу, пре подне су држана по 4 часа предавања, док су поподне исто толико времена ученици проводили у школи, радећи на одабраним задацима - традиционална "32 задатка" и тзв. шортлисти за ММО 2016. Припреме је финансијски подржала и Математичка гимназија. Предавања су држали Душан Ђукић, Александар Пејчев и Марко Радовановић.
Рио де Жанеиро
|
Рио де Жанеиро, или само Рио, је други по величини град у Бразилу, са око 6,5 милиона становника. Основали су га Португалци у 16. веку на врху брда познатог као Глава Шећера, као противтежу претходно основаној француској колонији у суседству. Име града на португалском значи Јануарска река, мада се под називом "река" у овом случају свесно подразумевао залив. Значај града је порастао са откривањем злата и дијаманата у данашњем Минас Жераису. Тако је у 18. веку Рио преузео од Салвадора титулу главног града португалске колоније Бразила. Краће време почетком 19. века, током Наполеонових напада, Рио је чак био престоница португалске империје - то је јединствен случај да престоница европске државе буде у прекоокеанској колонији. Када је 1822. године Бразил прогласио независност, Рио је остао његова престоница. Ипак, у исто време се развијао Сао Пауло, и касније претекао Рио по величини и значају. Ривалство ова два града је разрешено 1960, измештањем престонице у новоосновани град Бразилију у савани у средишњем Бразилу. Светску славу Рио дугује пре свега свом величанственом природном окружењу, плажама као што су Копакабана и Ипанема, статуи Христа Спаситеља на брду Корковадо, и наравно карневалу и фудбалу - чувена Маракана је све донедавно била највећи стадион на свету. С друге стране, са брзим насељавањем града, на падинама брда стварала су се сиротињска дивља насеља, фавеле, те је због високе стопе криминала град доспео на лош глас. Многе фавеле су биле практично државе у држави, ван домашаја власти. Пре Олимпијских игара 2016. овде су спроведене опсежне војне и полицијске акције у покушају да се криминал искорени и насеља врате под локалну власт. С обзиром на велике класне разлике у земљи, ова решења су била (очекивано) сасвим кратког даха. Пут до Рија је био дуг - екипа је путовала читавих 25 сати. У јулу је овде тропска зима. То не значи да је хладно - преко дана је било обично око 25 степени - али су морски таласи довољно велики да купање не представља уживање. Вође и остатак екипа били су у одвојеним хотелима у богатијој четврти на обали, удаљеној од центра. Иако смо веровали да је овде безбедно, неколико екипа су биле жртве оружане пљачке увече на плажи. |
Горе: поглед на Рио; у средини: трг Синеландија; доле: фавела Росиња |
Задаци и координација
Такмичари су радили шест задатака одабраних из шортлисте од 32 задатка - први и четврти су предвиђени да буду лаки, други и пети средње тежине, а трећи и шести тешки. Задаци су и ове године изабрани по тзв. протоколу Џефа Смита.
задаци: 
решења:
Проблемска комисија која је саставила шортлисту трудила се да не претера са тешким задацима, што је била честа замерка до 2015. С друге стране, лаки задаци су били или прелаки или напросто непривлачни, док је лакших средњих задатака било мало, а средњи задаци су неретко изгледали "чудно".
Нисам сигуран колико смем да причам о шортлисти - мада се инсистира на правилу тајности шортлисте до следеће олимпијаде, зна се да се то не поштује свуда и све мање земаља се усуђује да ове задатке користи за избор екипе. Ипак, ваљда смем да кажем да, након елиминације неколико задатака из шортлисте, није остала прихватљива средња геометрија, док је преостала средња теорија бројева некима изгледала претешко. Стичем утисак да су некадашњи противници средње геометрије усмерили свој рат на средњу теорију бројева. Тако се овакав избор задатака по областима чини изнуђеним.
1. задатак: Лака теорија бројева која ми је изгледала без везе, али у којој је лако погрешити. Петоро наших такмичара су имали комплетна решења која и поред најбоље воље обично нису успевали да сажму на мање од две-три стране. По очекивању, овде су координатори круто гледали у шему за оцењивање и ловили непрецизности ради скидања поена. Мада су тврдили да су прочитали радове, ипак смо морали да им све преводимо. Алекса је, осим бројева дељивих са 3, у коначан одговор укључио и бројеве из неког фантомског скупа, не приметивши да је тај скуп тривијално празан. Координатори су за њега нудили 5 поена, али како је шема давала 5 и за доста мање, ово смо прихватили тек након дугих расправа с њима, у уверењу да су ипак били конзистентни.
2. задатак: Пад популарности неједнакости је природно наметнуо функционалне једначине као алтернативу. Жири је овај задатак сматрао релативно тешким. С друге стране, задатак је приступачан и шема је садржала 3-4 прилично јефтина поена. Нашим ученицима овакве ствари леже, па тако имамо сасвим солидна три цела решења у екипи. Остало троје имају по три поена на исте закључке (погођена решења, \(f(x)=0\) акко \(x=1\), \(f(0)=\pm1\) и \(f(x+1)=f(x)-f(0)\)), с тим да је Јелена имала и (ипак недовољне) елементе четвртог поена.
3. задатак: Ово је чудна комбинаторно-геометријска загонетка, доста налик на познати _линк_е1ндф|проблем о човеку и лаву|хттпс://миндyоурдецисионс.цом/блог/2013/06/25/тхе-ман-анд-тхе-лион-пуззле-пурсуит-анд-евасион-гаме-тхеорy/_линк_. Да се решење схвати довољан је минут, али да се реши, месец дана може бити мало. Задатак је урађен трагично (на читавој олимпијади освојено је само 26 поена), упркос гласним члановима жирија који су одушевљено истицали његову приступачност. Лично нисам изненађен исходом, чак сам и упозоравао на њега. Наиме, бар две ствари су овај задатак чиниле чудним. Једна је питање постојања стратегије, које је чак и на овом нивоу многим такмичарима могло бити нејасно - доказ непостојања ловчеве стратегије не подразумева налажење зечеве контрастратегије. Друга је потреба за посматрањем циклуса од по више (нпр. 200) корака - разматрање појединачних корака било је потпуно бескорисно. Наравно, координација је била брза - покупили смо своје нуле и отишли.
4. задатак: Класична геометрија која није прелака, али допушта разне приступе. Наши такмичари су га сви урадили, на шест различитих начина. Међутим, по сопственом признању, изгледа да су се ипак намучили. Игор је притом своје решење стрпао у коверат за 6. задатак, али због тога није кажњен. Координатори су унапред прочитали и разумели радове, те смо 42 поена добили одмах. Иначе, због површне сличности са неким задатком на аустралијском такмичењу, и овом задатку је претило искључивање са шортлисте.
5. задатак: Ово је комбинаторно-алгоритамска главоломка која ме подсећа на 5. задатак са ММО 2014. (о кејптаунским новчићима). Мада овај задатак није тежи од 2-гог, одмах ми је било јасно да нам неће одговарати, док неким другим екипама хоће. На њему су биле успешне пре свега далекоисточне екипе, а у нешто мањој мери и западне. Занимљиво је да га је на простору бивше Југославије решио само један Црногорац. Ми у екипи имамо само мрвице. Иначе, задатак је у суштини "0-7" (тј. или је решен, или није), али је чудна шема оцењивања предвидела ситне поене за поједина (не сва) нерешења која се не могу поправити. Тако је Павле по шеми добио два поена за неутемељен покушај Холовом теоремом, а Алекса и Марко по поен за неуспешне покушаје индукцијом. Координатори су се опирали, али шема оцењивања беше неумољива. Овакви парцијални поени су били веома чести.
6. задатак: Званично теорија бројева, али са јаким алгебарским елементима. Није то био тако страшан задатак. Има више различитих природних решења, од којих је једно донекле имитирало конструкцију Лагранжовог интерполационог полинома, а бар два су користила индукцију без великих препрека. Ипак, ми имамо нуле, а и многи други такође. Наши такмичари нису честито ни промислили о њему. Ту битан део кривице сноси 5. задатак. Неколико земаља је боље урадило 6-ти задатак него 5-ти. Усудићу се да кажем да бисмо били кадри да будемо међу њима - штета за ове нуле.
Резултати
Завршни састанак је трајао краће него обично. Вероватно се неко досетио да је након координације, у ишчекивању граница за медаље, (уз дужно поштовање) мало ко у стању да слуша извештаје о финансијском билансу IMO фондације. Тако је финансијски део састанка одржан после првог дана такмичења, а на завршном састанку су границе брзо дошле на ред. Било је јасно да овакви задаци нису могли да развуку поене такмичара, те ће тако велики број њих бити сконцентрисан на истим поенима (заиста, испоставило се да се чак 41% свих такмичара нагомилало у интервалу од 14 до 18 поена). Изгласана је опција са највишим границама која ово сликовито показује: 16 за бронзу, али само 19 за сребро, и рекордно ниских 25 за злато. Само шест такмичара има преко 29 поена, а тројица апсолутних победника из Ирана, Јапана и Вијетнама имају по 35 поена.
резултати: 
Наши резултати су овакви:
| SRB 1 | Алекса Милојевић | 5 | 7 | 0 | 7 | 1 | 0 | 20 | сребрна медаља |
| SRB 2 | Павле Мартиновић | 7 | 3 | 0 | 7 | 2 | 0 | 19 | сребрна медаља |
| SRB 3 | Игор Медведев | 7 | 3 | 0 | 7 | 0 | 0 | 17 | бронзана медаља |
| SRB 4 | Јелена Иванчић | 7 | 3 | 0 | 7 | 0 | 0 | 17 | бронзана медаља |
| SRB 5 | Марко Медведев | 7 | 7 | 0 | 7 | 1 | 0 | 22 | сребрна медаља |
| SRB 6 | Огњен Тошић | 7 | 7 | 0 | 7 | 0 | 0 | 21 | сребрна медаља |
| Србија укупно | 40 | 30 | 0 | 42 | 4 | 0 | 116 | ||
|
Вероватно се ту и тамо могло имати и више поена, али реално гледано, нико у екипи није подбацио. Троје ученика имају практично по три задатка. Алекси се превиди попут овог у првом задатку ретко догађају, али то је надокнадио решењем другог. Павлу је онај покушај на 5. задатку донео сребро; и испис му је био пристојан - координатори су имали муке с његовим рукописом (иако пише латиницом), али ми се већ навикавамо. Осећа се да је Игор био под притиском, признајем да ме је то мало бринуло. Није испало лоше, али ово му није максимум. Јелена је најмлађа у екипи, али то се ни по чему не види - ово је добар резултат, а сигуран сам да би убудуће могао бити и доста бољи. Марко је одлично наступио, а оно што је урадио исписао је пажљиво, не остављајући евентуалним цепидлакама прилику да га казне. Огњен је трећи пут на Олимпијади и, на страну што не брине много о детаљима у испису, било је само питање времена кад ће освојити сребро. Најзад, посрећиле су нам се и границе за медаље, па тако четири наша такмичара имају сребра. |
Слева надесно: Душан Ђукић, Алекса Милојевић, Марко Медведев, Игор Медведев, Павле Мартиновић, Јелена Иванчић, Огњен Тошић, Бојан Башић (на Копакабани) |
Екипни резултати су овакви:
|
|
|
Можда и није било много тешко поправити прошлогодишњи пласман, али наћи се поново у првих 20 је ипак успех. Ове године су уведене новине у начину избора екипе и мислим да овај резултат показује да је то био добар потез. Не кажем да је ова екипа "паметнија" од прошлогодишње, али је добила на форми и мотивацији. Резултату су допринели и други фактори, али нажалост не бих рекао да су озбиљније и организованије припреме један од њих: ту има простора за побољшање. Непосредан узрок успона на листи је добро урађен други задатак: на њему имамо више поена од Кине, Америке и Русије. С друге стране, пети задатак је очигледан разлог што нисмо још бољи. Ипак, морам да приметим да је избор задатака прилично промешао екипне резултате - илустрације ради, једина екипа са Балкана која је боља од нас је, сасвим неуобичајено, Грчка, која има само поен мање од Русије. Са неким другим задацима могло је бити из корена другачије. Ми смо мала земља и зависимо од генерације, али на нама је да зависност екипних резултата од самих задатака минимизујемо.