57. Међународна математичка олимпијада 2016.
~~~~~ Душан Ђукић ~~~~~
57. Међународна математичка олимпијада је одржана од 6. до 16. јула 2016. у Хонг Конгу. Екипа Србије је одабрана на основу резултата Српске математичке олимпијаде за средње школе, одржане 1. и 2. априла у Београду, и додатног изборног такмичења одржаног 5. априла због деобе места:
- Игор Медведев, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
- Никола Павловић, 2. разред гимназије "Јован Јовановић Змај" у Новом Саду;
- Алекса Милојевић, 1. разред Математичке гимназије у Београду
- Огњен Тошић, 3. разред Математичке гимназије у Београду;
- Алекса Константинов, 4. разред Математичке гимназије у Београду;
- Никола Садовек, 4. разред Математичке гимназије у Београду.
Екипом су руководили Душан Ђукић са Машинског факултета и Марко Радовановић са Математичког факултета Универзитета у Београду. Одлазак екипе на олимпијаду финансирали су Друштво математичара Србије и НИС.
Припреме екипе пред ММО су одржане у току јуна, у Математичкој гимназији и у Хемијско-медицинској школи у Вршцу. Припреме су се састојале од 4 часа дневно, а у Вршцу је неизоставни део припрема чинио и самосталан рад на одабраним задацима из тзв. шортлисте (ужег избора предлога задатака) за ММО 2015. Припреме је финансијски подржала и Математичка гимназија. Предавања су држали Бојан Башић, Душан Ђукић, Александар Пејчев и Марко Радовановић.
Хонг Конг
|
Територија Хонг Конга се састоји од неколико густо насељених острва на југоистоку Кине и невеликог дела копна. У њему на 1104 квадратна километра живи око 7 милиона људи, углавном Кинеза. Налази се непосредно испод повратника, али има влажну суптропску климу - зиме су приметно хладније од лета. Иначе, само име Хонг Конг на локалном кинеском значи "мирисна лука". Иако функционише практично као независна држава, до 1997. је припадао Британији, а данас припада Кини. Овдашњи Кинези углавном говоре кантонски, јужни дијалекат кинеског језика тешко разумљив становницима Пекинга или Шангаја. Супротно увреженом мишљењу, Хонг Конг није био изнајмљен Британцима на 99 година - изнајмљене су биле приступне територије на кинеском копну, док је сам Хонг Конг био британска колонија од Опијумског рата 1841. За време Другог светског рата њиме су владали Јапанци. Када је откуп приступних територија истекао, а Кина ојачала, Британци су били принуђени да се повуку и одавде. Ипак, освајачи су оставили траг: иако се Хонг Конг неочекивано брзо претворио готово у ‘‘праву Кину‘‘, овде још увек већи део народа зна енглески, а вози се левом страном. У периоду након Другог светског рата, Хонг Конг је индустријализован и потом претворен у финансијско средиште. Због великог броја људи на малој површини, цена земљишта је вртоглаво расла, па је данас ово један од најскупљих градова на свету. Последица тога је и његов данашњи препознатљив изглед, начичкан збијеним облакодерима у приобаљу и на падинама околних брда. Од некадашње колонијалне архитектуре није много остало. Недалеко од Хонг Конга налази се и друга аутономна јединица у оквиру Кине - Макао, португалска колонија од 16. века до 1999. Овде је колонијална заоставштина знатно боље очувана. Као својеврсна допуна Хонг Конгу, Макао се последњих деценија претворио у коцкарско средиште. |
Горе: поглед на Хонг Конг; доле: колонијална архитектура у Макау |
Задаци и координација
Такмичари су радили шест задатака одабраних из шортлисте од 32 задатка - први и четврти су предвиђени да буду лаки, други и пети средње тежине, а трећи и шести тешки. Правило Џефа Смита, по коме свака од четири основне области треба да буде заступљена међу четири лака и средња задатка, практично се подразумева, иако се још увек усваја само за текућу годину.
задаци: 
решења:
Што се тиче шортлисте, било је доста притужби на њену лепоту и квалитет. Заиста, сви чланови проблемске комисије су били Кинези из Хонг Конга који очигледно имају другачији укус. С друге стране, не могу да порекнем да је, за разлику од већине шортлиста претходних година, њена тежина била пристојно избалансирана.
1. задатак: Геометрија која не изгледа много занимљиво, по мом мишљењу можда не најлакша у шортлисти, али на сваки начин праволинијска. Свашта на слици испадне колинеарно или конциклично, а чини се да је и сам задатак настао прикривањем симетрије у конфигурацији. Наши ученици овде нису оманули.
2. задатак: Ово је у неким земљама типски задатак, али нашим ученицима није одговарао. Конструкција примера за \(9\mid n\) је носила 2 прилично јефтина поена. Тројици такмичара смо узели те поене. Ипак, Никола млађи и Огњен немају ни то. Изгледа да су од овог задатка брзо дигли руке, што је штета - рецимо, на оваквим задацима неки општи пример сигурно нешто вреди. Други део задатка, доказ да мора бити \(9\mid n\), сводио се на једноставно пребројавање на два начина. Кључ је у посматрању "срећних" поља таблице (поља \((i,j)\) у којима је \(i\equiv j\equiv2\pmod3\)), што се задатак ни не труди да сакрије. Алекса млађи је то урадио и пристојно исписао, остављајући нам лак посао. Иначе, координатори су давали по поен за практично било какво смислено пребројавање, а Огњен је у скицама имао више таквих покушаја - било нам је тешко да поверујемо да ама-баш-ништа од тога није до краја избројао.
3. задатак: Ово је званично теорија бројева, мада у ствари има елементе сваке од четири основне области. Индукција је очекивана, Пикова теорема још више, Птоломејева теорема ће се вероватно употребити, степени простих бројева се природно посматрају. Ипак, тешко је све повезати. Такође, покушај да се дође до неког погодног израза за површину завршава се вероватним неуспехом. У нашој екипи само Огњен има 1 поен. Наиме, он је посматрао Гаусове целе бројеве и није урадио много тога корисног - координатори су на сваки начин покушали да избегну да му дају поен, али шема за оцењивање била је неумољива.
4. задатак: Након аритметичког почетка задатак се своди на комбинаторно испитивање случајева. Имамо пет тачних решења са мање или више читљивим исписом, и пет седмица смо брзо добили. Ипак, није немогуће да овде неко погреши, и то се десило Николи млађем који је након непотпуног аргумента за \(b=5\) "доказао" да мирисан скуп не постоји ни за \(b=6\). Координатори су његов рад проценили на 4 поена, али приметивши благу несигурност у њиховим тврдњама, нисмо одустајали док му најзад нисмо ишчупали 5. Координацију овог задатка смо последњу завршили.
5. задатак: Мада се своди на елементарну полиномску једначину, битан део задатка је конструкција примера. Тривијална процена \(k\geqslant2016\) није носила поене, али се зато на разним корисним запажањима о распореду фактора које би требало обрисати могло добити до 2 поена. Са изузетком Алексе старијег, то су и сви поени које смо добили. Алекса старији је имао тражени пример (који су вероватно имали и сви остали такмичари који су решили задатак), али није имао доказ у случају да су обе стране једначине негативне. Све у свему, укупно имамо 9 поена. Утисак је да смо овде морали много боље.
6. задатак: Мада би мало ко назвао решење овог задатка тешким, његова тежина је делом лежала у чињеници да је задат као 6-ти задатак. Пример за непарно \(n\) је било лако наслутити, једноставно доказати, и природно извести из њега доказ немогућности за парно \(n\). Ипак, задатак спада у трикове - оно што је лако може бити невидљиво. Алекса млађи је наслутио пример за \(2\nmid n\) и добио наш једини поен овде. У сећање ми се враћају задаци 2 и 5 са овогодишње СМО: слични по тежини, наизглед сасвим лаки, али трагично урађени.
Резултати
Завршни састанак жирија је одржан 14-тог увече, након координације. Као и увек, огромну већину чланова жирија занима само једно - границе за медаље, а о њима се одлучује на крају састанка. Најзад, гласање са скривеним предложеним границама за медаље, и опет је изгласана опција са највишим границама. Два стварно лака задатка, још два са дарежљивим шемама за оцењивање, и последица је високих 16 поена за бронзу. Насупрот томе, 22 за сребро и, што нас нажалост не занима, релативно ниских 29 за злато.
Да сумирамо наше резултате:
| SRB 1 | Игор Медведев | 7 | 2 | 0 | 7 | 2 | 0 | 18 | бронзана медаља |
| SRB 2 | Никола Павловић | 7 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 12 | похвала |
| SRB 3 | Алекса Милојевић | 7 | 7 | 0 | 7 | 1 | 1 | 23 | сребрна медаља |
| SRB 4 | Огњен Тошић | 7 | 0 | 1 | 7 | 2 | 0 | 17 | бронзана медаља |
| SRB 5 | Алекса Константинов | 7 | 2 | 0 | 7 | 4 | 0 | 20 | бронзана медаља |
| SRB 6 | Никола Садовек | 7 | 2 | 0 | 7 | 0 | 0 | 16 | бронзана медаља |
| Србија укупно | 42 | 13 | 1 | 40 | 9 | 1 | 106 | ||
|
Освајач сребрне медаље Алекса млађи пуно је напредовао у односу на прошлу годину и, што посебно радује, наставља да ради и задржава амбиције. Ветерани у екипи су и Огњен и други Алекса. Они су урадили прихватљиво, овај други је био и близу сребра, али нису напредовали. Нисам изненађен јер сам их посматрао током године, али знам да су имали довољно технике да ураде нпр. пети задатак. Три нова члана екипе исто су урадили пристојно. Мада им је ово било довољно за медаљу, Игор и Никола старији имају комбинаторне склоности и очекивао сам да ураде и други задатак. Никола млађи може да уради доста, али му треба и доста времена. Без медаље је остао делом због грешке на 4. задатку, а делом због несналажљивости и одсуства парцијалног напретка на неурађеним задацима на којима је радо предавао празне коверте. Све у свему, остаје утисак који нас прати још од СМО и БМО - екипа се добро сналази на лаким задацима (први и четврти), али на средњим (други и пети) јако слабо. |
Слева надесно: Марко Радовановић, Алекса Константинов, Алекса Милојевић, Огњен Тошић, Никола Садовек, Игор Медведев, Никола Павловић, Душан Ђукић |
Екипни резултати су овакви:
|
|
|
Нећу се залетати изјавама да је ово наш најгори екипни пласман икада, али да је добар - није. Такмичари су мало полетели након првог екипног места на Балканијади, а од њега је сада остала само још једна потврда да пласман на Балканијади не значи много. С друге стране, не могу много да замерим такмичарима. Можда се нису сви баш претргли од рада, али лаке задатке су углавном урадили, а наше савете да их пажљиво испишу ("размислите на чему би у овом задатку координатори могли да дају шест поена!") су озбиљно схватили. Међутим, ако ван лаких задатака имамо само једно тачно решење, вероватно не можемо очекивати много бољи екипни пласман. Да ли је разлог слабија екипа или несрећна комбинација задатака, питање је на које не би требало да годину дана чекамо одговор.