53. Међународна Математичка Олимпијада: задаци и решења

Први дан (10. јул, 2012)

Проблем 1. (Evangelos Psychas, Грчка)

Дат је троугао \(ABC\). Нека је \(J\) центар споља приписаног круга који одговара темену \(A\). Овај круг додирује праве \(AB\), \(AC\) и \(BC\) у тачкама \(K\), \(L\), и \(M\), редом. Праве \(BM\) и \(JF\) се секу у \(F\), а праве \(KM\) и \(CJ\) у \(G\). Нека је \(S\) пресечна тачка правих \(AF\) и \(BC\), и нека је \(T\) пресечна тачка правих \(AG\) и \(BC\). Доказати да је \(M\) средиште дужи \(BC\).

Проблем 2. (Angelo di Pasquale, Аустралија)

Нека су \(a_2\), \(a_3\), \(\dots\), \(a_n\) позитивни реални бројеви који задовољавају \(a_2a_3\cdots a_n=1\). Доказати да је \[\left(a_2+1\right)^2\cdot \left(a_3+1\right)^3\cdots \left(a_n+1\right)^n > n^n.\]

Проблем 3. (David Arthur, Канада)

Погађалица је игра коју играју два играча, \(A\) и \(B\). Правила игре зависе од природних бројева \(k\) и \(n\) који су познати и једном и другом играчу.

На почетку игре \(A\) бира природне бројеве \(x\) и \(N\), такве да је \(1\leq x\leq N\). Играч \(A\) не саопштава информацију о броју \(x\), а саопштава тачну вредност броја \(N\) играчу \(B\). Играч \(B\) покушава да добије информације о броју \(x\) питајући играча \(A\) питања следећег облика: у сваком питању \(B\) бира произвољан подскуп \(S\) скупа природних бројева (може бирати исти подскуп више пута) и пита играча \(A\) да ли \(x\) припада \(S\). Играч \(B\) може поставити питања колико жели. Након сваког питања играч \(A\) одмах одговара са да или не, међутим може да лаже; једино ограничење да међу произвољних \(k+1\) узастопних одговора макар један мора бити истинит.

Након што \(B\) постави питања колико жели, он мора одабрати скуп \(X\) који се састоји од највише \(n\) природних бројева. Ако \(x\) припада \(X\) онда \(B\) побеђује; иначе, \(B\) губи. Доказати да:

(а) Ако је \(n\geq 2^k\), онда \(B\) може гарантовати победу.

(б) За свако довољно велико \(k\), постоји природан број \(n\geq 1.99^k\) такав да \(B\) не може гарантовати победу.

Други дан (11. јул, 2012)

Проблем 4. (Liam Baker, Јужна Африка)

Одредити све функције \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) такве да, за све целе бројеве \(a\), \(b\), \(c\) за које је \(a+b+c=0\), важи једнакост: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\]

Проблем 5. (Josef Tkadlec, Чешка)

Нека је \(ABC\) троугао у коме је \(\angle C=90^{\circ}\). Нека је \(D\) подножје висине из темена \(C\). Нека је \(X\) која припада унутрашњости дужи \(CD\). Нека је \(K\) тачка дужи \(AX\) таква да је \(BK=BC\). Аналогно, нека је \(L\) тачка дужи \(BX\) таква да је \(AL=AC\). Нека је \(M\) пресечна тачка правих \(AL\) и \(BK\).

Доказати да је \(MK=ML\).

Проблем 6. (Душан Ђукић, Србија)

Одредити све природне бројеве \(n\) за које постоје ненегативни цели бројеви \(a_1\), \(a_2\), \(\dots\), \(a_n\) тако да важи \[\frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]