Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

56. Međunarodna Matematička Olimpijada 2015.

~~~~~ Dušan Đukić ~~~~~


Upozorenje: Izveštaj koji sledi sadrži lične stavove autora koji nije mašina (mada radi na Mašinskom fakultetu) i samim tim se nije trudio da ih zadrži za sebe.

 

56. Međunarodna matematička olimpijada je održana od 4. do 16. jula 2015. u Čijang Maju u Tajlandu. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematičke olimpijade za srednje škole, održane 27. i 28. marta u Beogradu:

  • Marijana Vujadinović, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Ognjen Tošić, 2. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Ivan Damnjanović, 4. razred gimnazije "Bora Stanković" u Nišu;
  • Aleksa Milojević, 8. razred OŠ. pri Matematičkoj gimnaziji u Beogradu
  • Aleksa Konstantinov, 3. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Anđela Šarković, 4. razred gimnazije "Svetozar Marković" u Nišu.

Ekipom su rukovodili Dušan Đukić sa Mašinskog fakulteta i Marko Radovanović sa Matematičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu. Sa ekipom je kao posmatrač bio i Miloš Milosavljević, nastavnik gimnazije "Svetozar Marković" u Nišu. Odlazak takmičara, vođe i zamenika na olimpijadu, kao i pripreme, finansirali su Društvo matematičara Srbije i NIS.

Pripreme ekipe pred MMO su održane od 11. do 15. juna u Matematičkoj gimnaziji i od 22. do 29. juna u Hemijsko-medicinskoj školi u Vršcu. Pripreme su se sastojale od 4 časa dnevno, a u Vršcu je neizostavni deo priprema činio i samostalan rad na tzv. šortlisti (užem izboru predloga zadataka) za MMO 2014. Pripreme je finansijski podržala Matematička gimnazija. Predavanja su držali Vladimir Baltić, Bojan Bašić, Dušan Đukić, Miljan Knežević, Aleksandar Pejčev, Marko Radovanović i Miloš Stojaković.

Tajland

Tajland je kraljevina u srcu Indokine, zapadnom svetu verovatno najpoznatija po rajskim plažama. Klima u čitavoj zemlji je tropska, monsunska sa kišnim periodom od maja
do oktobra, a na dalekom jugu i ekvatorijalna. Najtopliji meseci su mart i april kada temperatura dos- tiže 40 stepeni. U Bangkoku, koji važi za najtopliju prestonicu na svetu, temperatura se retko spušta ispod 20 stepeni.

Današnji Tajlanđani su sinteza nekoliko srodnih naroda - iako se svi smatraju Tai narodom, regionalni identitet (severni, severoistočni, centralni i južni Tajlanđani) se očuvao. Velika većina Tajlanđana su teravada budisti, mada na jugu, gde je jak malajski kulturni uticaj, u primorskim krajevima ima i muslimana. Sve do kasnog srednjeg veka ovim delom sveta su vladali drugi narodi - Kmeri, Moni i Malajci. Preci današnjih Tajlanđana su se doselili sa juga Kine u 13. veku i osnovali kraljevstvo Lana na severu Tajlanda, i Sukotaj i Ajutaju nešto južnije, pod jakim kulturnim uticajem Kmera od kojih su primili budizam. S padom nekada moćnog carstva Kmera (danas Kambodže) kraljevstvo Ajutaja se proširilo daleko na jug i istok i ostalo najmoćnija država u ovom delu sveta do 18. veka, pritom asimilujući narode koji su tu živeli. Pošto sam doputovao ranije, imao sam prilike da vidim deo raznolikosti zemlje putujući autobusom od Bangkoka na sever, preko Ajutaje i Sukotaja ka Čijang Maju. U nekim aspektima, u odnosu na šumoviti i brdoviti sever zemlje, središnji nizijski deo Tajlanda mi je izgledao kao druga država - drugačiji pejzaž i rastinje, toplija klima (šta god to značilo), drugačija arhitektura hramova. Čak ni ljudi nisu izgledali isto kao severnjaci - imali su tamniji ten i ponekad drugačije crte lica, kao da nisu isti narod.

Kada su 1767. godine Burmanci napali i razorili Ajutaju, prestonica je premeštena u Bangkok, do tada malo ribarsko selo. Danas je to grad sa preko 8 miliona stanovnika i u svakom smislu je centar zemlje - svi ostali gradovi imaju manje od 150 hiljada stanovnika. Svako ko putuje u Tajland prođe kroz Bangkok. Njegove najznačajnije znamenitosti su svakako veličanstveni budistički hramovi i kompleks kraljeve palate. Sam grad je, poput mnogih azijskih velegrada, haotičan i saobraćajna zakrčenja su takoreći način života. Stari deo grada uz obalu reke Čao Praja je ispresecan mnoštvom kanala povezanih s rekom i građen je naizgled bez ikakvog urbanističkog plana. Svaki pokušaj da se od tačke A do tačke V stigne "prečicom" mimo mape obavezno završava u ćorsokaku u lavirintu. S druge strane, grad obiluje i bogatim četvrtima i tržnim centrima za višu klasu. Ovde višu klasu uglavnom sačinjavaju Kinezi. Tajlandski Kinezi se obično već u drugoj generaciji potpuno asimiluju, prihvatajući imena, jezik i religiju dominantnog stanovništva.



Gore: ostaci starog grada u Ajutaji; dole: hram u Čijang Maju

Olimpijada se održavala u Čijang Maju, najvećem gradu severa Tajlanda i prestonici nekadašnjeg kraljevstva Lana. Čijang Maj je mnogo pitomiji grad od Bangkoka i ima prijatniju klimu (po tajlandskim standardima svežu, iako je i ovde tropska klima). Domaćini su nas vodili na ekskurzije do poznatih hramova Vat Čedi Luang u starom gradu i Vat Pratat Doi Sutep na brdu iznad grada odakle se može videti ceo grad. Imali smo čast da Olimpijadu otvori visoko poštovana kraljeva ćerka, princeza Sirindon, uz fanfare. Svuda po zemlji mogu se videti slike kralja, kao i princeze koja je ove godine proslavila jubilarni 60-ti rođendan. Ostareli kralj u narodu ima status polubožanstva, ali kraljevsku porodicu štite i čudni zakoni - ovde ne možete kritikovati dvor ili budizam i proći nekažnjeno.

Zadaci i koordinacija

Po običaju, učesnici su radili šest zadataka odabranih iz šortliste od 29 zadataka - prvi i četvrti su predviđeni da budu laki, drugi i peti srednje težine, a treći i šesti teški. Pravilo koje je 2013. godine predložio vođa ekipe Ujedinjenog Kraljevstva - da dva laka i dva srednja zadatka treba da pokriju sve četiri osnovne oblasti (algebra, kombinatorika, geometrija i teorija brojeva) - i ove godine je ostalo na snazi.

zadaci:                            rešenja:

Usvojen je i jedan srpski zadatak - teorija brojeva pod brojem 2 čiji je autor pisac ovog članka. Posledica toga je da smo mi bili koordinatori na ovom zadatku ekipi domaćina koja u svojim radovima, pisanim nerazumljivim pismom, nije štedela papir.

Inače, zbog jednog bizarnog incidenta, prvobitno odabrani zadaci za drugi dan takmičenja (među kojima je bio još jedan srpski zadatak od istog autora) procurili su nakon prvog dana. Ni najiskusniji se ne sećaju da se ovako nešto ikad ranije dogodilo. Ironično, za to smo saznali na ekskurziji dok smo jahali slonove i bivole. Nesuđeni zadaci su na brzinu zamenjeni drugim, na zaprepašćenje žirija i na moj užas.

Za radoznale, prvobitni zadaci drugog dana su izgledali ovako: ... Da li bi bilo lakše ili teže da je tako ostalo, procenite sami.

  • 1. zadatak: Pet naših takmičara je imalo potpuna rešenja. Kombinatorni argument u delu pod (b) se kod svih svodio na istu ideju, dok su se primeri u delu pod (a) razlikovali. Dosta vremena su potrošili na ispis dokaza da njihovi primeri zadovoljavaju uslove zadatka. Sasvim neubičajeno, koordinatori su naknadno odlučili da ovi dokazi nisu potrebni. Dobro je što naši učenici nisu rizikovali, iako ih je to koštalo dosta vremena. Koordinatorima je jedino bilo potrebno prevesti Ivanov rad, nakon čega su svi osim Marijane dobili po 7 poena. Marijana nije predala svoj rad, na šta ću morati da se osvrnem kasnije. Da je išta predala, sigurno ne bi imala nulu. Zaista, 1 poen se dobijao za primer pravilnog mnogougla (bez dokaza) i na ovom zadatku bi samo Čak Noris mogao da zaradi nulu.

  • 2. zadatak: Iako nema preteških ideja, ovaj zadatak je bio tehnički zahtevan i, zajedno sa 5. zadatkom, glavni krivac za neuobičajeno niske granice za srebro i zlato. U našoj ekipi Ivan i Aleksa mlađi su imali samo slučaj kada su \( a \), \( b \) i \( c \) parni (1 poen), dok su Ognjen i Anđela imali taj slučaj i deljivost \( bc-a\mid a^2-1 \) (2 poena). Najdalje je dogurao Aleksa stariji. On je uradio slučajeve kada su \( a,b,c \) svi parni ili svi neparni, a u "mešovitom" slučaju ga je zbrka sa oznakama navela na grešku, te je ispustio rešenje \( (2,6,11) \). Šema ocenjivanja nije predvidela ovakav događaj. Koordinatorima smo pokazali ispravku njegovog rada u tri reda u pokušaju da mu izvučemo 6 poena, ali konačnih 5 je ipak pravedno.

  • 3. zadatak: Opet geometrija, treću godinu zaredom, i opet ne posebno teška. Globalno slaba urađenost ovog zadatka može navesti na pogrešan zaključak. Zadatak se može uraditi na više načina - sličnost, radikalne ose, inverzija, ili čak goli račun. Po pravilu, na zadacima na ovoj poziciji teško je dobiti dva poena a ne uraditi zadatak, ali 1 poen se delio za dokaz opštepoznate kolinearnosti tačaka \( M,H,Q \). Siguran sam da je svako od naših učenika mogao lako da ga dobije, ali samo Ognjen ima taj poen, što nije mnogo dobro. Mogao bih da razglabam o načinima da se iščupa 1 poen, ali zašto ne bismo imali i 7? Izgleda da je reč o običaju da učenici rade zadatke redom, što znači da ne diraju 3. zadatak dok ne reše prva dva. Mišljenja o ovakvom pristupu su podeljena - lično se ne slažem s njim. Pomenuću samo da izgleda da ekipa Rusije sledi istu filozofiju - oni su u geometriji možda i najbolji na svetu, ali su toliko nastradali na 2. zadatku da su 3. jedva stigli da opepele.

  • 4. zadatak: Nakon što se primeti da je tvrđenje ekvivalentno sa simetričnošću pravih \( FK \) i \( GL \) u odnosu na \( AO \), ostaje običan račun uglova. Na ovakvim zadacima moramo da imamo 42 u zbiru. Već neko vreme imam utisak da naši učenici, i u geometriji i u drugim oblastima, veruju da je bubanje teorije prečica ka uspehu, prezirući dosadno vežbanje kao što je račun uglova. Recimo, Aleksa mlađi se nije setio da prvo izračuna uglove na slici (uobičajena ideja u zadacima ovog nivoa), ali se zato setio radikalnog centra i obrtne homotetije (naprednije teorije koja ne vodi nigde). A taj poen je dobio za sliku jer je na njoj označio neke jednake uglove. S druge strane, Ognjen je izgubio poen samo zbog šturog ispisa. Naime, koordinatori su insistirali da implikacija \( FX=GX\Rightarrow X\in AO \) zahteva objašnjenje (npr. "jer je \( AO \) simetrala duži \( FG \)" bi bilo dovoljno). Svađali smo se s njima sat i po, ali nije pomoglo. Koordinatori su posebno skloni cepidlačenju na lakim zadacima i na to treba biti spreman.

  • 5. zadatak: Još uvek nema naznaka da funkcionalne jednačine izlaze iz mode, što je donekle (ne potpuno) slučaj sa nejednakostima. Ovde se dobija relativno lako da je \( f(0)\in\{0,2\} \) - to su dobili Ognjen i Aleksa mlađi, i to je 1 poen. Slučaj \( f(0)\neq0 \) je lakši i vredeo je 2 poena, a \( f(0)=0 \) ostalih 5 poena. U rešenju zadatka ključnu ulogu ima ispitivanje fiksnih tačaka, što nije nova ideja. Samo Aleksa stariji je uspeo - čisto rešenje i 7 poena. Ivan i Anđela su osim slučaja \( f(0)=2 \) dokazali i da u slučaju \( f(0)=0 \) važi \( f(-1)=-1 \), što im je donelo po 3 poena. Ivan je uradio nešto više ispitujući fiksne tačke, ali nedovoljno da bi dobio 4. Marijana je umesto \( f(-1)=-1 \) dokazala nešto što smo kreativno protumačili kao postojanje nenula fiksne tačke, pa smo i njoj izvukli 3 poena.

  • 6. zadatak: Ovo je zvanično kombinatorika, iako je više algebra od nekih zadataka koji su ranijih godina bili predlagani kao "algebre". Takođe je i lakši od mnogih šestih zadataka poslednjih godina. Ipak, mnogima za njega nije ostalo vremena jer su se mučili na 5. zadatku. Naši su svi predali prazne koverte. Zanimljivo je da je autor zadatka, Australijanac, našao inspiraciju za zadatak u žongliranju. Naime, žongler sa 2015 loptica za svako \( n \) baca po jednu lopticu u momentu \( n \), a ona mu se vraća u momentu \( n+a_n \), tako da nikoje dve loptice neće pasti u isto vreme.

Rezultati

Završni sastanak žirija je održan 14-tog uveče, kada je koordinacija bila gotova. Po prvi put smo glasali o granicama za medalje "naslepo" - bio nam je poznat broj medalja, ali ne i poeni (koji su bili delimično skriveni). Izglasana je opcija sa najvišim granicama. Očigledno se većina vođa ekipa bavila statističkim proračunima kako bi procenila granice. Ja nisam, pa kada je objavljeno da smo izglasali zlato sa 29 poena, nisam bio iznenađen. Utoliko sam se više iznenadio kada je ispravljena, kako se ispostavilo, greška u kucanju, a 29 postalo 26. Aleksa stariji dobi zlato ni kriv ni dužan. Ova rekordno niska granica za zlato je verovatno posledica tehnički zahtevnih zadataka na pozicijama 2 i 5. I srebro je nisko, sa 19, ali dva laka zadatka su ipak postavila granicu za bronzu na razumnih 14.

Dakle, evo naših rezultata:

SRB 1  Marijana Vujadinović   0 0 0 7 3 0  10   pohvala
SRB 2  Ognjen Tošić   7 2 1 6 1 0  17   bronzana medalja
SRB 3  Ivan Damnjanović   7 1 0 7 3 0  18   bronzana medalja
SRB 4  Aleksa Milojević   7 1 0 1 1 0  10   pohvala
SRB 5  Aleksa Konstantinov   7 5 0 7 7 0  26   zlatna medalja
SRB 6  Anđela Šarković   7 2 0 7 3 0  19   srebrna medalja
  Srbija ukupno 3511 1 3518 0  100

Tako već deveti put zaredom imamo zlato u ekipi. Aleksa je delovao najsigurnije i praktično (do na dva poena izgubljena u žurbi) uradio četiri zadatka - bio sam uveren da će dobiti srebro, ali sreća prati hrabre. Anđela je odbranila prošlogodišnje srebro, ali nije pružila maksimum - vidi se da je malo radila ove godine. Ognjen je uradio pristojno, iako sam se nadao da će ili on ili Aleksa stariji uspeti nešto da urade i sa 3. zadatkom. Aleksa mlađi ima još četiri šanse, za prvi put nije loše, iskustvo će doći s vremenom, ali izgleda da mu je geometrija slaba tačka, što se popravlja vežbanjem. Sećam se da je isti problem svojevremeno imao i Ivan, a on je sada bez problema rešio (lak ali neizračunljiv) 4. zadatak. Marijana je, valjda u nastupu malodušnosti, prvog dana predala samo prazne koverte, zbog čega je verovatno izgubila medalju. Ne razumem. Ne predati ništa znači naškoditi i sebi i celoj ekipi i iskreno se nadam da ovo više nikad neće pasti nekome na pamet. Bar nije i drugog dana samo otišla da "overi nulu", tako da je iščupala pohvalu.

Možete da pogledate i ekipne rezultate:

ZemljaPoeniZSB
1. SAD    185 5 1 -
2. Kina    181 4 2 -
3. Južna Koreja    161 3 1 2
4. Severna Koreja    156 3 3 -
5. Vijetnam    151 2 3 1
6. Australija    148 2 4 -
7. Iran    145 3 2 1
8. Rusija    141 - 6 -
9. Kanada    140 2 - 4
10. Singapur    139 1 4 1
11. Ukrajina    135 2 3 1
12. Tajland    134 2 3 1
13. Rumunija    132 1 4 1
14. Francuska    120 - 3 3
15. Hrvatska    119 1 3 1
16. Peru    118 2 2 1
17. Poljska    117 1 1 4
18. Tajvan    115 - 4 1
19. Meksiko    114 1 2 3
20. Mađarska    113 - 3 3
Turska    113 - 5 -
22. Brazil    109 - 3 3
Japan    109 - 3 3
Velika Britanija    109 - 4 1
25. Kazahstan    105 1 1 2
26. Jermenija    104 - 1 5
27. Nemačka    102 - 2 3
28. Hong Kong    101 - 2 3
29. Bugarska    100 - 2 1
Indonezija    100 - 2 4
Italija    100 1 2 -
Srbija    100 1 1 2
33. Bangladeš     97 - 1 4
Slovačka     97 - 2 3
35. Makao     88 - 1 2
ZemljaPoeniZSB
36. Filipini     87 - 2 2
37. Indija     86 - 1 2
38. Moldavija     85 - 1 2
39. Belorusija     84 - - 3
40. Izrael     83 1 - 2
41. Saudijska Arabija     81 - 1 3
42. Gruzija     80 - 1 3
43. Bosna i Hercegovina     76 - - 2
Holandija     76 - - 3
45. Češka     74 - - 3
Mongolija     74 - - 2
Švajcarska     74 - - 3
48. Azerbejdžan     73 - - 2
49. Kolumbija     72 - - 4
Novi Zeland     72 - - 2
51. Grčka     71 - 1 2
52. Argentina     70 - - 1
Portugal     70 - - 3
54. Sirija     69 - 1 1
55. Južna Afrika     68 - - 1
56. Belgija     67 - 1 -
57. Malezija     66 - - 3
58. Turkmenistan     64 - - 2
Uzbekistan     64 - - 3
60. Austrija     63 - - 3
Švedska     63 - - 2
62. Alžir     60 - 1 1
63. Kipar     58 - 1 -
64. Tadžikistan (5)     57 - 1 1
65. Litvanija     54 - - 1
Norveška     54 - 1 -
67. Kostarika     53 - - 2
Paragvaj     53 - - 3
69. Danska     52 - - 2
ZemljaPoeniZSB
70. Estonija     51 - - 1
Šri Lanka     51 - - -
72. Španija     47 - - 1
73. Slovenija     46 - - 1
74. Makedonija     45 - - 1
75. Island     41 - - -
Tunis (4)     41 - - 1
77. Albanija     37 - - -
Irska     37 - - -
79. Letonija     36 - - -
80. Ekvador     27 - - -
Maroko     27 - - -
82. Finska     26 - - -
Nikaragva (3)     26 - - -
Trinidad i Tobago (4)     26 - 1 -
85. Pakistan     25 - - 1
86. Kambodža     24 - - -
Kosovo     24 - - -
88. Nigerija     22 - - -
89. Crna Gora (3)     19 - - 1
90. Lihtenštajn (1)     18 - - 1
Portoriko (3)     18 - - 1
92. Kirgistan     17 - - -
93. Urugvaj     16 - - -
94. Kuba (1)     15 - - 1
95. Salvador (4)     14 - - -
96. Venecuela (2)     13 - - -
97. Čile (2)     12 - - -
Luksemburg (2)     12 - - -
99. Panama (3)      9 - - -
100. Uganda (5)      6 - - -
101. Bolivija (5)      5 - - -
Gana (5)      5 - - -
103. Bocvana      1 - - -
104. Tanzanija (3)      0 - - -

Naš ekipni rezultat je u granicama normale. Poeni su nam slabiji nego prošle godine, ali je i takmičenje sada bilo teže. Svakako smo želeli bolje, a i brz pogled na uspeh naših zapadnih komšija nam govori da ovim ne treba da budemo zadovoljni. S druge strane, ipak smo dosta napredovali posle katastrofe na Balkanijadi. Šta se to tada desilo, i dalje nam je misterija. Volim da verujem da su i intenzivne pripreme kojima smo maltretirali ekipu nakon Balkanijade doprinele da se učenici vrate u formu.

Zašto ističem rezultat Hrvata kada ima još 27 zemalja koje su bile bolje od nas? Valjda je jasno, cilj mi je da se zamislimo. Njihov ovako visok plasman nije splet okolnosti, već rezultat ozbiljnog shvatanja Olimpijade i organizovanog rada poslednjih godina. Takođe, njihovi učenici aktivno rade matematiku tokom sve četiri godine srednje škole.

Za razliku od njih, naši učenici u velikom broju slučajeva poslednju godinu školovanja (često i dve) gotovo u potpunosti posvete odlasku na Kembridž. Ovo će nam u budućnosti predstavljati veliki problem ako se nešto ne promeni. Dirnuću u tu "svetinju", pa me slobodno gađajte jajima. Na stranu štetna atmosfera "otići iz zemlje po svaku cenu" koja vlada već godinama, otići na Kembridž nije nikakav poseban uspeh. Kembridž je samo sredstvo, on nije cilj. Cilj je matematika. Možda mislite da možete sebi da dozvolite bez posledica da par meseci ne radite matematiku? Grešite. Iz forme ćete izaći toliko brzo da je to zastrašujuće. Nije valjda da verujete da je to opravdano zarad "viših ciljeva", i da u te više ciljeve svrstavate Kembridž?

cosak
cosak cosak