Log In     Register    

српски serbian srpski     english ufl

cosak

53. Medjunarodna Matematichka Olimpijada: zadaci i reshenja

Prvi dan (10. jul, 2012)

Zadatak 1 {w (Evangelos Psychas}, Grchka)
 

Dat je trougao \( ABC \). Neka je \( J \) centar spolja pripisanog kruga koji odgovara temenu \( A \). Ovaj krug dodiruje prave \( AB \), \( AC \) i \( BC \) u tachkama \( K \), \( L \), i \( M \), redom. Prave \( BM \) i \( JF \) se seku u \( F \), a prave \( KM \) i \( CJ \) u \( G \). Neka je \( S \) presechna tachka pravih \( AF \) i \( BC \), i neka je \( T \) presechna tachka pravih \( AG \) i \( BC \). Dokazati da je \( M \) sredishte duzhi \( BC \).

Zadatak 2 {w (Angelo di Pasquale}, Australija)
 

Neka su \( a_2 \), \( a_3 \), \( \dots \), \( a_n \) pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju \( a_2a_3\cdots a_n=1 \). Dokazati da je \[ \left(a_2+1\right)^2\cdot \left(a_3+1\right)^3\cdots \left(a_n+1\right)^n> n^n.\]

Problem 3 {w (David Arthur}, Kanada)
 

Pogadjalica je igra koju igraju dva igracha, \( A \) i \( B \). Pravila igre zavise od prirodnih brojeva \( k \) i \( n \) koji su poznati i jednom i drugom igrachu.

Na pochetku igre \( A \) bira prirodne brojeve \( x \) i \( N \), takve da je \( 1\leq x\leq N \). Igrach \( A \) ne saopshtava informaciju o broju \( x \), a saopshtava tachnu vrednost broja \( N \) igrachu \( B \). Igrach \( B \) pokushava da dobije informacije o broju \( x \) pitajuc1i igracha \( A \) pitanja sledec1eg oblika: u svakom pitanju \( B \) bira proizvoljan podskup \( S \) skupa prirodnih brojeva (mozhe birati isti podskup vishe puta) i pita igracha \( A \) da li \( x \) pripada \( S \). Igrach \( B \) mozhe postaviti pitanja koliko zheli. Nakon svakog pitanja igrach \( A \) odmah odgovara sa da ili ne, medjutim mozhe da lazhe; jedino ogranichenje da medju proizvoljnih \( k+1 \) uzastopnih odgovora makar jedan mora biti istinit.

Nakon shto \( B \) postavi pitanja koliko zheli, on mora odabrati skup \( X \) koji se sastoji od najvishe \( n \) prirodnih brojeva. Ako \( x \) pripada \( X \) onda \( B \) pobedjuje; inache, \( B \) gubi. Dokazati da:

(a) Ako je \( n\geq 2^k \), onda \( B \) mozhe garantovati pobedu.

(b) Za svako dovoljno veliko \( k \), postoji prirodan broj \( n\geq 1.99^k \) takav da \( B \) ne mozhe garantovati pobedu.

Drugi dan (11. jul, 2012)

Zadatak 4 {w (Liam Baker}, Juzhna Afrika)
 

Odrediti sve funkcije \( f:\mathbb Z\to\mathbb Z \) takve da, za sve cele brojeve \( a \), \( b \), \( c \) za koje je \( a+b+c=0 \), vazhi jednakost: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\]

Zadatak 5 {w (Josef Tkadlec}, Cheshka)
 

Neka je \( ABC \) trougao u kome je \( \angle C=90^{\circ} \). Neka je \( D \) podnozhje visine iz temena \( C \). Neka je \( X \) koja pripada unutrashnjosti duzhi \( CD \). Neka je \( K \) tachka duzhi \( AX \) takva da je \( BK=BC \). Analogno, neka je \( L \) tachka duzhi \( BX \) takva da je \( AL=AC \). Neka je \( M \) presechna tachka pravih \( AL \) i \( BK \).

Dokazati da je \( MK=ML \).

Zadatak 6 (Dushan Djukic1, Srbija)
 

Odrediti sve prirodne brojeve \( n \) za koje postoje nenegativni celi brojevi \( a_1 \), \( a_2 \), \( \dots \), \( a_n \) tako da vazhi \[ \frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]

cosak
cosak cosak