Пријава     Регистрација    

српски serbian srpski english ufl

cosak

49. Међународна Математичка Олимпијада 2008.

49. Међународна математичка олимпијада је одржана од 10. до 22. јула 2008. у Мадриду у Шпанији. Екипа Србије је одабрана на основу резултата Српске математичке олимпијаде за средње школе, одржане 12. и 13. априла у Београду:

  • Душан Милијанчевић, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Лука Милићевић, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Александар Васиљковић, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Теодор фон Бург, 8. разред основне школе у Математичкој гимназији
  • Владимир Николић, 4. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Марија Јелић, 4. разред Математичке гимназије у Београду.
Екипом су руководили Ђорђе Кртинић са Математичког факултета у Београду и Душан Ђукић са Универзитета у Торонту. Осим уобичајених припрема, одржане су и припреме екипе од 15. до 19. јуна у Математичкој гимназији у Београду, као и од 4. до 10. јула у Хемијско-медицинској школи у Вршцу у коорганизацији ДМС.

Шпанија

Пошто од Београда до Мадрида не постоји директна авионска линија, преседали смо у Паризу. Са изузетком кашњења авиона за Париз у којем су били ученици и заменик вође, што је проузроковало мало трке и расправе са службеницима у Паризу и скретање с пута торбе једног ученика која нам је стигла дан касније, пут је прошао без проблема. Вођа екипе је допутовао 10-тог, четири дана пре остатка екипе и одмах био спроведен у Сеговију где је заседао жири олимпијаде, док је остатак екипе био смештен у Мадриду, и то такмичари у универзитетском кампусу, а заменици вођа у хотелу. Са ученицима је био ћудљиви водич Хуан који, из само њему знаних разлога, није издржао до краја олимпијаде.

Мадрид, престоница Шпаније, са око 5 милиона становника, такође је и економски и културни центар земље и седиште краља. Саграђен је на сувој висоравни оскудног растиња у средњем делу Шпаније, наизглед у сред ничега. Лети температуре готово сваки дан прелазе 30 степени, а киша је ретка. Иначе, град су у 9. веку основали Мавари, који су у то време владали готово целим Иберијским полуострвом и којима град дугује и име.

Организоване су екскурзије у Алкалу де Енарес, Толедо и познати дворац Ескоријал. Алкала де Енарес је градић у близини Мадрида у коме се налази један од најстаријих универзитета у Шпанији, основан 1499. године. Забавила нас је прича како су се овде некада полагали докторски испити. Трајали су данима, а кандидат је имао на располагању два "помоћника" од којих је други имао за циљ да га деконцентрише. Срећник који би положио приређивао би забаву за цео град; међутим, и ако би пао, била би организована забава за град, на којој би био јавно понижаван и извргнут руглу. Толедо је градић мало јужно од Мадрида, некадашња престоница шпанског царства и место укрштања трију религија и култура - католичке, исламске и јеврејске. Муслимани и јевреји су протерани из града крајем 15. века. Стари центар града се налази унутар тврђаве на каменитом брду окруженом реком Тахо, и у њему су видљиви остаци маварске архитектуре, укључујући чак и украсе у главној градској катедрали.



Горе: булевар у Мадриду; доле: поглед на Толедо

Задаци и координација

Од 26 задатака ужег избора жири је одабрао шест - по обичају, први и четврти су предвиђени као лаки, други и пети средње тежине, трећи и шести тежи. Судећи по укупним резултатима, овогодишње такмичење је било нешто лакше од прошлогодишњег, и сви задаци су били приступачни. Иако међу шест одабраних задатака није било српских предлога, наставили смо традицију предлагања задатака који улазе у ужи избор, где су се ове године нашла три српска задатка - више је имала једино Холандија. Координација се по програму одвијала 18. и 19. јула, с тим што је прегледање задатака другог дана почело тек 18-тог поподне, тако да нисмо морали да преседимо ноћ ишчитавајући радове такмичара. Обављеним послом смо у принципу задовољни, координатори су се трудили да поштено одраде посао, иако су и њих и руководства екипа у неким случајевима спутавале наметнуте помало чудне шеме за бодовање.

  • Први задатак је лагана планиметрија која се могла урадити елементарно применом потенције тачке у односу на круг, или уз сасвим мало рачуна, коришћењем Питагорине теореме, тригонометрије или комплексних бројева. Елементарно решење је укључивало доказивање да по четири тачке (од шест) леже на укупно три круга који сви имају центар у центру О описаног круга троугла, па се морају поклапати. Душан, Александар и Марија су доказали концикличност четворки тачака тригонометријом, а Лука сличношћу. Владимир је покушао комплексним бројевима, али је незгодно поставио једначине, рачуањући координате шест тачака као пресеке праве и круга, што води квадратним једначинама с комплексним коефицијентима; резултат је био рачун на више страница из кога није успео да се испетља. Теодор је знатно вештије приступио комплексним бројевима, приметивши да се центар траженог круга мора поклапати са О, и у само пар редова израчунао растојања од тачке О до шест тачака и доказао да су једнака. На координацији нам је пет седмица подељено без проблема, док је Владимиров рад оцењен двојком. Координатори су често дарежљиви на лаким задацима, али на неком тежем задатку неуспешан покушај рачуна попут Владимировог често бива кажњен нулом. Штета за изгубљених пет поена, али општа поука коју би требало извући јесте да комплексни бројеви нису чаробни штапић који, без обзира на то како се примени, решава сваки задатак - ако израз прерано почне да се компликује, боље је на време одустати него изгубити драгоцене сате и на крају написати нешто попут "сад се овај огромни израз лако измножи и среди", јер координатори за то немају самилости.

  • Други задатак је у делу под (а) помало необична неједнакост, а под (б) испитивање рационалних случајева једнакости које је у ствари теорија бројева. Неједнакост се може доказати једноставном сменом или диференцијалним рачуном ако се пажљиво спроведе, међутим, иако је симетрична, не може се једноставно напасти Мјурхедовом неједнакошћу јер једнакост не важи за x=y=z. Део (б) се своди на једноставну квадратну диофантску једначину. Душан и Лука су убацили смену и брзо доказали неједнакост, а онда се снашли и у диофантској једначини и зарадили по 7 поена. Марија је искусно спровела метод Лагранжових множилаца и детаљно испитала границе интервала, али се у другом делу закуцала некон што је изразила y и z преко x. Координатори су испрва претерано инсистирали на формалностима, али су на крају прихватили да је њен доказ неједнакости комплетан (4 поена), а на (б) је очекивано добила 1 поен. Теодор је исто користио Лагранжове множиоце, али није испитао границе, што је озбиљан пропуст који је у овом случају (по нашем мишљењу ипак престрого) кажњен са чак 3 од 4 поена; део под (б) није пажљиво прочитао те се зауставио на доказу постојања бесконачно много реалних случајева једнакости, на чему је зарадио други поен. Александар и Владимир су имали само покушаје који су оцењени са 1 и 0 поена: Александар се дуго мучио с Лагранжовим множиоцима, потом је покушао да све измножи, али без успеха. Утисак је да смо на овом задатку ипак могли боље. Треба обратити пажњу на грешке које су ученици правили, пре свега на испитивање граница, и наравно пажљиво читати задатке. Такође, као и у првом задатку, никада не бацити све карте на само један приступ (нпр. на диференцијални рачун).

  • Трећи задатак је теорија бројева, не претешка и без нових идеја. Сличан задатак у коме се тражи да n<sup>2</sup>+1 има прост делилац p>2n био је познат многим такмичарима, укључујући и наше. Оно што је чинило тежину овог задатка била је чињеница да, ако је p>2n, онда је самим тим и p>2n+√(2n) - то није тешко доказати, али се показало неочекиваним за многе. Душан је лепо видео шта се дешава у задатку и то је доказао, чак мало ојачавши оцену из задатка, те седмица није била спорна. Лука је био на правом путу, али му је после једне смешно несрећне рачунске грешке задатак испао из руку - добио је нешто чудно, али се није вратио да провери него је све прецртао и кренуо другим (погрешним) путем. Координатори су инсистирали на једном поену са чим се нисмо слагали, те смо без договора прешли на следећи рад - Теодоров. Теодор је на задатак пуцао сачмаром из свих углова и пријавио нам да га није решио. Међутим, кад смо читајући његов рад у соби дошли до последње од 15 страна, чекало нас је изненађење - готово цело решење којег ни сам није био свестан, фали само закључак. Координатори првобитно нису приметили ову страну и понудили су нам 1 поен, али кад смо им је показали и објаснили подигли су понуду на 6 што смо радосно прихватили. Три нуле су брзо подељене; Владимиру смо морали да прихватимо нулу иако смо тврдили да је кључ могао и другачије да се тумачи, али су се потом (ваљда да нас обештете) координатори сложили да Луки ипак дају 2. Овај поен ће му се касније испоставити као пресудан. Све у свему, по збиру поена на овом задатку смо на високом 9. месту, а могло је бити још боље да се ученици нису уплашили

  • Четврти задатак је лака функционална једначина са једном старом замком. Наиме, приликом решавања се долази до релације [f(x)-x][f(x)-1/x]=0, из чега су многи такмичари брзоплето закључили да су f(x)=x и f(x)=1/x једине могуће функције и ту изгубили много поена. Срећом, наши ученици су знали за ову замку и нису се упецали. Једино је Александар испустио један случај у крајњем испитивању функције и на томе изгубио поен, док су остали добили по 7.

  • Пети задатак је стандардна комбинаторика у којој је најраспрострањеније решење укључивало конструкцију пресликавања више-на-један из скупа N у скуп М и онда доказ да је "више" једнако 2<sup>k-n</sup>. Били су могући и други приступи, попут извођења рекурентне везе за кардиналности скупова М и N. Марија и Лука су га без проблема урадили на први начин и зарадили седмице. Владимир је конструисао пресликавање, али је потом направио грешку заменивши производ збиром и заглавио се у сређивању израза за " више", што је оцењено са 3 поена по кључу. Теодор је радио на други начин, али је непажљиво саставио рекурентну везу испустивши биномне коефицијенте, што је додуше водило истом резултату, али су координатори то приписали срећи и понудили 3 поена. Морамо признати да ову грешку нисмо раније приметили (и ми смо људи), па смо на координацији и сами били затечени. Сматрали смо да је 3 поена премало јер је ученик очигледно знао шта ради, па смо се договорили да ова грешка, по признању координатора јединствена, заслужује да преноћи. Сутрадан нам је понуђено 4 поена што смо прихватили, иако је штета због грешке. Душан је резултат погодио и добио 1 поен, а Александар га промашио и добио нулу. Тако смо на овом задатку у нивоу свог укупног пласмана, али испод многих западних земаља којима је задатак одговарао. На комбинаторне задатке са механичким пребројавањем треба убудуће обратити пажњу.

  • Шести задатак је тешка али урадива геометрија. Нико од наших такмичара је није урадио; Лука је добио поен за доказ једнакости две тангентне дужи које се појављују на слици, а Теодор за нешто што се у шеми за бодовање звало "јасан геометријски опис пресечне тачке двеју тангенти". Марија је доказала једно помоћно тврђење које је искористила да олакша рачун комплексним бројевима, али је рачун тек започела и оцењена је нулом, као и остали наши ученици. Иначе, шема за бодовање је на овом задатку била посебно чудна, предвиђајући само 0,1,2,6 или 7 поена, што је изазвало више спорова.

Резултати

На олимпијади је учествовало 535 такмичара из 97 земаља, што овогодишњу олимпијаду чини најмасовнијом до сад. Ове године су први пут учествовали ученици из Хондураса и Уједињених Арапских Емирата. Забрињавајуће је, међутим, што се екипа Пакистана није појавила јер њихови ученици нису добили визе, што се иначе не дешава први пут некој екипи на ММО, и због чега је жири олимпијаде упутио протест надлежном министарству Шпаније. Подељено је 47 златних (31 и више поена), 100 сребрних (22-30 поена) и 120 бронзаних медаља (15-21 поена). Три такмичара су освојила максимална 42 поена, и то два Кинеза и један Американац кинеског порекла. Резултати наших такмичара су дати следећом табелом:

SRB 1 Душан Милијанчевић 777710 29 сребрна медаља
SRB 2 Лука Милићевић 772771 31 златна медаља
SRB 3 Александар Васиљковић 710600 14 похвала
SRB 4 Теодор фон Бург 726741 27 сребрна медаља
SRB 5 Владимир Николић 200730 12 похвала
SRB 6 Марија Јелић 750770 26 сребрна медаља
Србија укупно 37221541222 139

Већ другу годину за редом један наш ученик осваја златну медаљу која нам је протеклих година толико често измицала за мало. Лука је урадио баш онако како очекујемо од психолошки стабилног такмичара: први и други задатак сваког дана, исписане јасно и без пропуста, и на преостала два таман довољно да му изборимо ситниш да га пренесе преко границе за злато. Трећи задатак није решио управо зато што га је преценио, што је, како се чини, заједнички именилац наших такмичара. Заправо, верујемо да су сви наши такмичари који се пробију у олимпијску екипу способни да ураде по два задатка сваког дана, иако нам се они смеју кад им то кажемо. Међутим, за то је осим знања потребна и психолошка стабилност, сналажљивост, а понекад и мало среће. Да је то лако, не би граница за злато била ту где јесте, али је уз одговарајуће припреме могуће постићи.

Душан је одлично почео, урадивши сва три задатка првог дана, али је у други дан ушао под великим притиском, очигледно уплашен близином злата до кога је могао већ ове године. Код Теодора се види напредак у односу на прошлу годину, али му је потребно време да му се ново знање слегне, због чега је изгубио поене у другом задатку. У петом је несрећно изгубио поене, али их неочекивано добио на трећем и шестом. Уз мало среће је могао до злата, али уз лошу срећу је могао и у бронзу. Чини се да му је пре свега потребна одговарајућа пракса. Марија је добар пример константног напредка, а и сваке године јој је резултат све мање зависио од тренутног психичког стања. То је довело до сасвим солидног резултата, иако јој је за парцијалне поене на иначе неурађеним задацима можда недостајало мало и среће и вештине. Александар и Владимир су могли доста боље; Владимир је у првом задатку сву енергију бацио на комплексне бројеве који му нису успевали, што је лоша тактика. Александар је несрећан превид у четвртом задатку платио медаљом. Његови домети су изнад похвале, па и изнад бронзе, али исто онако као што уме да уради тежак задатак, уме и да не уради лак, а то је само ствар вежбе.


С лева надесно: Хуан, Владимир Николић, Теодор фон Бург, Душан Милијанчевић, Марија Јелић, Лука Милићевић, Александар Васиљковић, Душан Ђукић

Екипни пласман је незванична категорија, али се традиционално рачуна и схвата прилично озбиљно као показатељ општег напретка у земљама. Кина се вратила на чело листе, а може се приметити да при врху има и изненађења.

ЗемљаПоениЗ С Б
1. Кина 217 5 1 -
2. Русија 199 6 - -
3. САД 190 4 2 -
4. Јужна Кореја 188 4 2 -
5. Иран 181 1 5 -
6. Тајланд 175 2 3 1
7. Северна Кореја 173 2 4 -
8. Турска 170 3 1 2
9. Тајван 168 2 4 -
10. Мађарска 165 2 3 1
11. Јапан 163 2 3 1
12. Вијетнам 159 2 2 2
13. Пољска 157 2 3 1
14. Бугарска 154 2 1 3
15. Украјина 153 2 2 2
16. Бразил 152 - 5 1
17. Перу 141 1 3 2
Румунија 141 - 4 2
19. Аустралија 140 - 5 1
20. Србија 139 1 3 -
Немачка 139 1 2 3
22. Канада 135 - 2 4
23. Велика Британија 133 - 4 2
24. Италија 132 - 3 3
25. Казахстан 128 1 2 3
26. Белорусија 125 - 3 2
27. Израел 120 1 1 2
28. Хонг Конг 107 - 3 1
29. Монголија 106 - 2 1
30. Француска 104 - 1 4
31. Индија 103 - - 5
32. Сингапур 98 - 1 3
ЗемљаПоениЗ С Б
33. Узбекистан 94 - - 4
Холандија 94 - 2 2
35. Литванија 92 - 1 2
36. Индонезија 88 - 1 2
37. Мексико 87 - 1 1
38. Хрватска 86 - - 3
39. Аргентина 85 - 1 3
Грчка 85 - - 2
Чешка 85 - 1 1
42. Грузија 84 - - 5
43. Шпанија 82 - - 3
44. Јужна Африка 79 - 1 -
45. Колумбија 77 - 2 -
46. Словачка 76 - - 3
Туркменистан 76 - - 4
48. Азербејдзан 74 - - 3
Молдавија 74 - 1 -
50. Босна и Херцеговина 68 - - 3
Словенија 68 - - 2
Швајцарска 68 - 1 1
53. Шведска 67 - 1 -
54. Данска 66 - 2 -
55. Костарика 65 - - 2
Малезија 65 - 1 -
57. Аустрија 63 - - 1
58. Норвешка 62 1 - -
59. Белгија 61 - 1 1
Македонија 61 - - 2
61. Луксембург (5) 60 - - 2
Тадзикистан 60 - - 1
63. Летонија 58 - 1 -
Макао 58 - - 2
Мароко 58 - - 1
ЗемљаПоениЗ С Б
66. Јерменија 56 - - -
67. Португал 55 - - 2
68. Албанија 53 - - 1
69. Чиле (3) 49 - 1 1
70. Ирска 45 - - -
71. Кипар 42 - - 1
Нови Зеланд 42 - - -
73. Естонија 41 - - 1
74. Финска 40 - - 1
75. Бангладеш (4) 33 - - -
76. Исланд (5) 31 - - 1
Салвадор (4) 31 - - -
78. Шри Ланка 29 - - -
79. Киргистан (5) 28 - - -
Тринидад и Тобаго 28 - - 1
81. Куба (1) 27 - 1 -
82. Еквадор 26 - - -
83. Камбодза 25 - - -
84. Парагвај (4) 24 - - 1
Црна Гора (3) 24 - - -
86. Филипини (3) 23 - - 1
87. Уругвај (5) 22 - - -
88. Тунис (4) 20 - - -
89. Хондурас (2) 17 - - -
90. Венецуела (2) 16 - - -
Гватемала (4) 16 - - 1
Лихтенштајн (2) 16 - - -
93. Порторико (3) 9 - - -
94. Саудијска Арабија 8 - - -
95. Боливија (5) 5 - - -
УАЕ (4) 5 - - -
97. Кувајт (5) 3 - - -

Узнапредовали смо за три места у односу на прошлу годину; 20-то место је наш најбољи пласман у овом веку, а и брз поглед на табелу говори да смо се лако могли попети за још пар места. Уз одговарајући рад, надамо се и бољем резултату следеће године.

Да ову олимпијаду не памтимо само по лепом, побринуо се лопов који је опљачкао екипу на Мадридском аеродрому пред сам полазак из Шпаније. Заменик вође Ђукић је тако претрпео велику материјалну штету, а како је остао и без личних докумената, био је принуђен да продужи боравак у Шпанији за дан како би извадио привремена путна документа.

Ђорђе Кртинић, Душан Ђукић

cosak
cosak cosak