Пријава     Регистрација    

српски serbian srpski english ufl

cosak

48. Међународна Математичка Олимпијада 2007.

48. Међународна математичка олимпијада је одржана од 19. до 31. јула 2007. у Ханоју у Вијетнаму. Екипа Србије је одабрана на основу резултата Српске математичке олимпијаде за средње школе, одржане 2. и 3. априла у Београду:

  • Младен Радојевић, 4. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Марко Јевремовић, 4. разред Гимназије у Краљеву;
  • Марија Јелић, 3. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Бобан Карапетровић, 2. разред Гимназије у Ивањици;
  • Душан Милијанчевић, 1. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Теодор фон Бург, 7. разред основне школе у Математичкој гимназији у Београду.
Екипом су руководили Ђорђе Кртинић са Математичког факултета у Београду и Душан Ђукић са Универзитета у Торонту, а у саставу екипе је била и Магда Бузуровић фон Бург као посматрач.

Вијетнам

Путовање до нашег одредишта трајало је око 24 сата, заједно са преседањима у Москви и Бангкоку. Такмичари и заменици вођа су били смештени у Ханоју, у међусобно удаљеним хотелима. Вође су одмах по доласку, четири дана пре остатка екипа, спроведене у Ха Лонг где се одвијао избор задатака, а током координације су им придружили и заменици.

Престоница Вијетнама, Ханој (што у преводу значи отприлике "на реци"), је град са око 4 милиона становника на Црвеној Реци (на вијетнамском Хонг Ха), мало испод северног повратника. Вијетнамци тврде да је краткотрајна зима у граду веома пријатна, као пролеће код нас, али је лето типично тропско, дуго више од шест месеци, са сталном температуром од 30 до 35 степени преко дана, веома топлим ноћима и великом влагом у ваздуху. Сам Ханој је простран град углавном ниских зграда (до четири спрата) грађених у карактеристичном стилу, обично веома уских и међусобно спојених. Прво што посетиоцу са запада упада у очи је хаотичан саобраћај са мало аутомобила и веома много мотоцикала који возе у свим правцима и наизглед мимо свих правила. Мотоцикли су овде породично превозно средство. Домаћини су нам објаснили да је град упркос видљивом сиромаштву веома безбедан што се тиче уличног разбојништва, али да нам се управо због саобраћаја не препоручује да сами много лутамо наоколо. Такође су нам привукли пажњу многобројни струјни каблови на улици: често је између два суседна стуба разапето на десетине, можда и стотине жица и каблова. Како су нам Вијетнамци објаснили, од тих каблова заправо само један ради, а они који не раде се не уклањају. Чини се да народ проводи велики део дана на отвореном, па људи који на улици кувају, једу, шишају се итд. нису никаква реткост.

У Ханоју су организоване екскурзије у етнолошки музеј (у ствари парк етничких кућа), село произвођача свиле Ван Фук и Храм литературе, први универзитет у Вијетнаму. Вијетнамци су до пре једног века писали писмом сличним кинеском, док данас, захваљујући француским мисионарима, пишу неком врстом изразито акцентоване латинице. Ха Лонг је туристичко место удаљено око три сата вожње од Ханоја, на обали Јужног кинеског мора, у истоименом заливу изузетне природне лепоте. Залив је начичкан безбројним малим острвима необичног облика, налик на громаде. Домаћини нису пропустили да нас поведу на крстарење заливом, при чему смо посетили и пећину на једном од острва у којој је, како се испоставило, клима много гора него на отвореном јер је на истој температури влажност ваздуха била стопроцентна.



Као што је и обичај, за такмичаре су одржане разне друштвене активности и спортска такмичења. Наша екипа је победила у одбојци, а један наш такмичар је замало победио и у модној ревији.

Задаци и координација

Жири је изабрао шест задатака које овде приказујемо са решењима. Као што је уобичајено, предвиђено је да први и четврти задатак буду лаки, други и пети средње тежине, и трећи и шести тешки. Координација се одвијала у два дана након олимпијаде, при чему смо ми имали незгодан распоред јер смо радове другог дана добили тек касно увече тог дана, а координацију четвртог и петог задатка смо имали заказану наредног дана на сабајле, тако да смо их прегледали те вечери до зоре. По завршетку програма првог дана координације остало нам је вече и ноћ да ишчитамо радове на првом и шестом задатку и дешифрујемо Марково наводно решење шестог задатка тајанственом теоремом по имену комбинаторни нулштелензац. Општи је утисак да су Вијетнамци веома квалитетно одрадили координацију, иако је као и увек било и пропуста и незадовољних.

  • Први задатак је помало нестандардна алгебра гломазне формулације. Део под (а) је био једноставан и сви наши су га решили, али нам се део под (б) показао неочекивано неухватљивим и ту је једино Душан имао елементе решења (и елементе грешке коју је направио и у првом делу). Упркос нашим бојазнима, координација првог задатка је била прилично опуштена и сви су лако добили заслужене поене са изузетком Марије која је исписала решење дела под (а) на четири стране и покушај дела под (б) на још четири. Чак смо успешно исфолирали координаторе у Душановом раду и тако му обезбедили 6 поена уместо планираних 4-5, што му је на крају можда одлучило о медаљи. Све у свему, чини се да на овом задатку имамо лошији резултат од очекиваног, и следеће године свакако треба посветити једно или два предавања конструкцијама примера за одговарајућа тврђења у алгебри и оптимизацији.

  • Други задатак, геометрија у нивоу домаћих такмичења, је допуштао и елементарно и рачунско решење, ниједно претерано тешко, али ни лако. Три наша такмичара су га решила, сви комплексним бројевима после много времена проведеног на њему. Оцењивање је донело тешкоће јер координатори нису проверавали Младеново и Марково решење већ су их отписали, те смо морали да им објашњавамо ред по ред и формулу по формулу. Младену смо морали да прихватимо шестицу јер, мада је прошао са најелегантнијим рачуном, тај рачун није пропратио објашњењима, закључком, нити иједном речју. Три нерешења су оцењена ситнишем по кључу, док је Теодор неочекивано добио 7 без икаквих проблема упркос неким непријатним грешкама у рачуну. Тако је наш резултат на овом задатку солидан, мада је утисак да је могао бити и бољи да ученици нису били мало обесхрабрени првим задатком. Следеће године морамо да обратимо пажњу и на геометријске задатке који се не могу решити чистим рачуном.

  • Трећи је комбинаторни задатак у коме је техника од слабе помоћи. Младен га је маестрално средио, а Теодор је имао исправну идеју да пребацује ученике између соба док се величине дружина не приближе на разлику од 1 и потом обрадио лаке случајеве, али се његово решење није могло довршити. На координацији, првог дана после ручка, Теодор је по кључу добио 2 поена, а четири нуле су подељене по кратком поступку - наши су потрошили време на крајње специјалним случајевима што ретко кад доноси поен, уместо да су се позабавили општом ситуацијом у границама могућности. Међутим, координација Младеновог рада је трајала знатно дуже од очекивања јер су Вијетнамци постављали потпитања на сваку реченицу док се нас двојица нисмо коначно збунили и обећали да ћемо се вратити касније. Вратили смо се кроз пет минута и објаснили решење до краја, на шта су координатори рекли да сад они хоће да мало размисле и да се вратимо касније поподне (у првобитно прописаном термину). Кад смо се касније вратили, дочекао нас је и Рус из проблемске комисије који је тражио да писмено преведемо последња два пасуса Младеновог рада од речи до речи, после чега нам је одобрена седмица. Ове муке су касније добиле објашњење. Испоставило се да су се учесници олимпијаде на овом задатку крајње лоше провели, а једина друга седмица на целој олимпијади се појавила тек пред сам крај координације код једног Кинеза. Тако је Србија ове године упамћена на олимпијади, а и координатори су нас очигледно запамтили јер су нам се јављали где год би нас срели. Све у свему, јесмо се намучили, али смо заиста уживали.

  • Четврти задатак је дат као зицер, што је и био. Разлоге за губитак 8 поена у нашој екипи треба тражити само у психологији - Бобан је погрешно разумео задатак, што је штета јер би га иначе сигурно решио, а Теодор је због ружног исписа оставио поен координаторима.

  • Пети задатак није био лак - метод најмањег решења у теорији бројева, када се први пут појавио на олимпијади 1988, направио је покољ - али данас спада у технику. Марија и Младен су исправно повезали задатак са овим методом и зарадили по седам поена. Марко је такође тврдио да га је урадио али је заправо само вршио ситне алгебарске калкулације приликом чега је погрешио (уосталом, нереално је очекивати да се пети задатак на олимпијади може урадити пресипањем из шупљег у празно). Четири нерешења су оцењена по једним поеном колико је по кључу вредела релација \( 4ab-1\mid(a-b)^2 \). Два решења у екипи су задовољавајући резултат, мада се можда могло очекивати и више од тога јер нашим ученицима идеја није била непозната.

  • Шести задатак је варијација специјалног случаја горе поменутог комбинаторног нулштелензаца, што га чини лошим избором за олимпијаду јер су га решили само они којима је та теорема била позната. Марко је чуо за њу, али је формулацију знао само отприлике, тако да се погрешно определио за покушај преваре и нас и координатора, изоставивши формулацију (а с обзиром на то да је теорема мало позната, мора да се наведе тачна формулација и скица доказа или бар референца), што га је коштало другог поена. Сви остали из наше екипе су брзо добили нуле, иако су Теодор и Младен били близу једног поена по иначе нејасном кључу. Осим тога, Вијетнамци нису пропустили да запазе ни Маријин цртеж на дну папира: како су прокоментарисали, "овде нема ништа, али ова сличица је јако лепа... можда један поен?"

Резултати

На олимпијади су учествовала 522 такмичара из 93 земље, што овогодишњу олимпијаду чини најмасовнијом до сад. Ове године су први пут учествовали ученици из Црне Горе, Лихтенштајна и Камбоџе. Због два веома тешка задатка ниједан ученик није имао максимална 42 поена. Највише поена, 37, имао је један Рус. Подељено је 39 златних (29 и више поена), 83 сребрне (21-28 поена) и 131 бронзана медаља (14-20 поена). Резултати наших такмичара су дати следећом табелом:

SRB 1 Младен Радојевић 367770 30 златна медаља
SRB 2 Марко Јевремовић 370711 19 бронзана медаља
SRB 3 Марија Јелић 400770 18 бронзана медаља
SRB 4 Душан Милијанчевић 610710 15 бронзана медаља
SRB 5 Бобан Карапетровић 320010 6
SRB 6 Теодор вон Бург 372610 19 бронзана медаља
Србија укупно 2223934181 107

Младен је сјајним наступом зарадио златну медаљу, прву за нашу земљу после осам година. Медаља је утолико сјајнија због чињенице да смо у протеклих десет година изгубили чак шест злата за само по један поен. Наравно, његов трећи задатак је посебан разлог да будемо поносни. Марко, Марија, Душан и Теодор су се окитили бронзаним медаљама. Од Марка смо као најискуснијег, иако бронза свакако јесте успех, очекивали мало више; како се чини, ове године му је недостајало рада и мотивације. Марија је доста напредовала, што се видело другог дана, али се првог дана лоше снашла, не решивши геометрију која јој иначе лежи, због чега јој је измакло сребро. Душан је захваљујући знању теорије урадио таман довољно за бронзу, али је уз мало више праксе могао боље. Бобан је имао квалитет за бронзу, није се снашао али још две прилике су пред њим. Најмлађи члан наше екипе, Теодор, без предрасуда је загризао задатке и зарадио јаку бронзу, а како за слаб испис срећом није био озбиљније кажњен, чак је био близу сребра.


С лева надесно: Ђорђе Кртинић, Душан Ђукић, Теодор вон Бург, Марија Јелић, Бобан Карапетровић, Марко Јевремовић, Душан Милијанчевић, Младен Радојевић

Иако се екипни пласман не рачуна званично, екипне ранг-листе се данас прилично озбиљно схватају као један од показатеља рада и трендова по земљама. Иако су у новије време најчешће Кинези на врху листе, ове године су их претекли Руси:

ЗемљаПоениЗ С Б
1. Русија 184 5 1 -
2. Кина 181 4 2 -
3. Јужна Кореја 168 2 4 -
Вијетнам 168 3 3 -
5. САД 155 2 3 1
6. Јапан 154 2 4 -
Украјина 154 3 1 2
8. Северна Кореја 151 1 4 -
9. Бугарска 149 2 3 1
Тајван 149 2 3 1
11. Румунија 146 1 4 1
12. Иран 143 1 3 2
Хонг Конг 143 - 5 1
14. Тајланд 133 1 3 2
15. Немачка 132 1 3 1
16. Мађарска 129 - 5 -
17. Турска 124 1 2 2
18. Пољска 122 1 2 2
19. Белорусија 119 1 1 4
20. Молдавија 118 - 3 2
21. Италија 116 1 1 3
22. Аустралија 110 - 1 4
23. Србија 107 1 - 4
24. Бразил 106 - 2 3
25. Индија 103 - 3 -
26. Грузија 102 1 1 1
27. Канада 98 - 1 3
28. Велика Британија 95 1 - 3
Казахстан 95 - 1 3
30. Колумбија 93 - 1 3
31. Литванија 92 1 - 2
ЗемљаПоениЗ С Б
32. Перу 91 - 1 2
33. Грчка 89 - 1 3
34. Монголија 88 - 2 1
Узбекистан 88 - 1 3
36. Сингапур 87 - - 5
37. Мексико 86 - - 4
Словачка 86 - - 4
39. Словенија 85 - - 5
40. Чешка 82 - - 5
41. Шведска 81 - - 4
42. Аустрија 80 - 1 3
43. Норвешка 79 - 1 1
Француска 79 1 - 2
45. Белгија 78 - - 3
46. Хрватска 76 - - 2
47. Аргентина 75 - 1 1
48. Јерменија 73 - 1 1
Макао 73 - 1 1
50. Израел 71 - - 3
Нови Зеланд 71 - - 3
52. Азербејџан 69 - - 3
Босна и Херцеговина 69 - 1 -
Индонезија 69 - 1 -
55. Македонија 68 - - 3
56. Холандија 65 - - 1
57. Естонија 64 - - 1
58. Албанија 59 - - 1
Швајцарска 59 - - 1
60. Летонија 58 - - -
61. Финска 55 - 1 -
62. Португал 52 - - 1
ЗемљаПоениЗ С Б
63. Ирска 51 - - 1
Туркменистан 51 - - -
65. Данска 50 - - 1
66. Шпанија 48 - - 2
67. Киргистан 43 - - 1
68. Јужна Африка 42 - - -
69. Кипар 41 - - -
70. Тринидад и Тобаго 39 - - -
71. Таџикистан 37 - - 1
72. Костарика 36 - - 1
73. Исланд 35 - - -
74. Еквадор 34 - - 1
Луксембург 34 - - 1
Малезија 34 - - 1
Салвадор 34 - - -
78. Пакистан 32 - - 1
Парагвај 32 - - -
80. Бангладеш 31 - - -
81. Мароко 28 - - -
82. Камбоџа 26 - - -
83. Шри Ланка 25 - - -
84. Филипини 21 - - -
85. Нигерија 20 - - -
86. Црна Гора 17 - - -
87. Куба 16 - - 1
88. Венецуела 14 - - -
Лихтенштајн 14 - - 1
90. Порторико 7 - - -
91. Саудијска Арабија 5 - - -
92. Чиле 4 - - -
93. Боливија 2 - - -

Нашом позицијом можемо да будемо задовољни с обзиром на значајан напредак у односу на резултате из претходне две године који су, надамо се, ипак били само пролазна слабост. Посебно радује што је екипа веома млада - по први пут је ученицима пре другог разреда средње школе дата прилика да се кандидују за екипу, и јасно је да су измене у систему такмичења које су то омогућиле биле веома добар потез. Четири члана екипе остају у конкуренцији и следеће године, тако да имамо основа да се надамо и бољем пласману убудуће.

Упоредо са координацијом наших обављали смо и координацију црногорске екипе, "опуномоћени" од стране црногорског вође (и истовремено заменика вође) Божидара Шћепановића који је све време присуствовао нашем послу. Резултати наших дојучерашњих земљака су ове године ипак били скромни:

MON 1 Марица Кнежевић 100510 7
MON 2 Александар Јаћимовић 010000 1
MON 3 Никола Милинковић 100710 9 похвала
Црна Гора укупно 2101220 17

Иначе, водитељ завршног састанка жирија је у једном моменту одлучио да нас мало насмеје па је показао у крупном плану радове двају такмичара на шестом задатку. На првом раду, неки ученик са енглеског говорног подручја је написао ово: "Овај задатак је тривијалан! Може да се реши индукцијом и не желим да траћим време на њему." Али други рад нам се одмах учинио познатим. Заиста, кад се на опште задовољство и смех присутних појавило дно стране, препознали смо Маријину фину сличицу. Вијетнамци се заиста разумеју и у уметност.

Душан Ђукић, Ђорђе Кртинић

cosak
cosak cosak